Part I
Chapter I 微积分的概念
1 函数与极限
1.1
无穷数列的极限, 记作 .
函数的极限, 记作 , 这里 可以是有限数, 也可以是无穷大.
1.2
一般来说, 函数 在 点处连续, 是指 成立, 否则称为间断.
2 定积分
2.1
使用将小区间 分成等比数列的方法, 可以计算曲线 ( 为任意整数, 但 ) 与 轴之间的面积. 从 到 之间的面积是 .
2.3
记 , 存在某个数 使得 .
可以证明 , 继续证明可以 (由前式很容易地) 得出 是一个以 为底的对数函数, 即 .
3 微商与微分
3.3
如果极限 存在, 我们就说 在 处可微, 并称这极限为 在 处的微商 (或导数), 记为 或 .
如果函数 在 处可微, 则一定在这一点连续.
.
3.4
函数 在点 的微分, 记作 .
可以用微分 近似地代替差分 .
可以把 改写成 ,
这就是微商这个名称的由来.
3.5
Fermat 定理
Rolle 定理
微分中值定理
Lagrange 中值定理 (微分中值定理)
Cauchy 中值定理
Chapter II 微积分的运算
1 微分法
1.1
若 , 则 .
若 是 的反函数, 且 , 则 .
…more
一阶微分形式的不变性
1.2
如果 的微商存在, 就称它为 的 阶微商, 记为 或 .
Leibnitz 公式
由参数方程 所确定的函数的微分法
2 积分法
2.1
有理分式的积分 , 查表易得.
2.2
换元法
分部积分法
Chapter III 微积分的一些应用
2 曲线的描绘
2.5
曲线 的曲率 ;
参数方程 的曲率 .
3 Taylor 展开与极值问题
3.1
函数 在 的泰勒展开式为
其中 . (显然, Lagrange 中值定理只是它的一个最简单的特例)
L’ Hospital 法则
Chapter IV 常微分方程
1 一阶微分方程
1.1
关于 的 阶线性微分方程的一般形式
1.2
分离变量法
形如 的方程经过变换可以变成可分离变量的
1.3
一阶线性微分方程 的解为
这里 仅表示 的一个原函数.
常数变易法
2 二阶微分方程
2.1
可降价的方程 与
2.2
二阶线性常微分方程的一般形状是
如果 , 则方程称为齐次的, 此时方程的初值问题是指
它的解是存在且唯一的 (假定已证), 由此可以得到 (2.2.2) 的解的结构定理: 任意解可表成一对线性无关解的线性组合. 下面来证明这条结构定理:
如果函数 线性相关, 则它们的 Wronski 行列式
但必须指出, 由 却未必能说这两个函数线性相关; 如果 是齐次线性方程 (2.2.2) 的两个解, 则情况就不同, 即 存在某点 使 与 线性相关.
当 都是 (2.2.2) 的解时, 有一个很好的性质, 即 Liouville 公式 . 从这里也可以看出, 在某点为零, 与处处为零是等价的.
已知 是线性无关的解, 则存在 , 使得 .
是任意一个解, 由 , 一定存在
由上式知, 与 有相同的初始条件, 根据唯一性定理, 故 成立. 这就证明了齐次二阶线性常微分方程的解的结构定理.
已知 (2.2.2) 的一个解 ,
则可借助 Liouville 公式得出另一个与之线性无关的解 .
可以用常数变易法求出非齐次方程 (2.2.1) 的特解
与 (2.2.2) 的通解相加, 得出 (2.2.1) 的通解.
2.3
二阶常系数线性微分方程形如
求解它的问题归结于求解它相应的齐次方程. 这是容易做到的, 如下:
观察发现, 可能有 形式的解, 回代这个形式, 得出特征方程
若特征方程有两个相异的实根 , 易得 .
若方程有重根 , 于是 , .
若方程有共轭复根 , 易得 .
Part II
Chapter VI 重积分与偏微商
1 重积分
1.1
当点 在定义域内不论沿着哪一条途径趋向点 时, 总是趋向于同一个数值 , 则称 为函数 当 趋于 时的极限, 记作 , 或 .
若 , 则称 在 处是连续的.
1.2
是在 上的连续函数. 如果 在 上可积, 且不变号, 则在 中有一点 , 使得 .
1.3
2 偏微商
2.1
定义 为 对 的偏微商, 称为 对 的偏微分. 在点 的全微分 .
全微分除了有一些与单变量函数的微分法则在形式上一致的性质, 还有了新的内容. 简单地说, 与 Jacobi 矩阵有关, 并由此可以推出微分的不变性.
二阶偏微商 记作 或 .
若 与 在点 不但存在而且连续, 则 , 即微商的次序可以交换.
注意, 在 中, 与 是不同的.
2.2
若 , 将 看作 的函数即 , 则 关于 的偏微商 .
由方程组 确定的以 为因变量的隐函数, .
3 Jacobi 行列式, 面积元素与体积元素
3.1
两个二元函数 的四个一阶偏微商组成的矩阵 称为函数 和 的 Jacobi 矩阵; 其行列式称为 Jacobi 行列式, 记作 . 多余两个变量的函数也可类似地定义 Jacobi 矩阵.
在多元函数的情形, Jacobi 矩阵相当于单变量函数的微商. 下面列举的一些 Jacobi 行列式的性质可以进一步说明这个问题 (设 ):
复合函数的微商法则 .
, 这正好与 相当.
.
.
3.2
设 , 则曲线坐标 在平面坐标系 下的面积元素为 . 于是由二重积分的定义得到 .
极坐标的面素
球坐标 (空间极坐标) 的体素
柱坐标的体素
直角三棱锥的一个可行的变换
空间曲面 的面积元素 ;
显表示式 的情形则更简单.
Chapter VII 线, 面积分与外微分形式
1 数量场与矢量场
1.1
数量场 . 在 中取一点 , 且设 是始自 的射线, 则 对 的方向导数定义为 . 在 的梯度 .
运算符号 Nabla 表示为 . 以下用此符号描述一些梯度的性质:
方向导数与梯度的关系为: .
沿梯度方向, 数量场的变化最快, 等值面分布最 “密”.
梯度运算法则:
(i) ;
(ii) ;
(iii) ;
(iv) .
1.2
设矢量场 , 它的流线族由微分方程组解得.
2 曲线积分
2.1 关于弧长的曲线积分
设曲线 (弧长为 ) 的参数方程为 且 连续, 无重点. 若 在 上连续, 则 在 上的第一种曲线积分存在, 且有
若曲线 的直角坐标方程为: , 则
.
若曲线 的极坐标方程为: , 则
.
2.3 关于弧长元素投影的积分
同第一种曲线积分的设定一样定义第二种曲线积分形如 . 以下罗列一些简单性质:
若 是 上平行于 的直线段, 则 . 同样, 若 是 中在平行于 的平面上的曲线, 则 上关于 的第二种曲线积分为零.
2.4
设在 中曲线 的参数方程为 , 连续, 的坐标分别为 . 若 为 上定义的连续函数, 则 在 上的第二种曲线积分存在并且
同样有关于 和 的积分公式.
平面封闭曲线的正向 (逆时针方向) 积分采用记号 ∳, 与它反向的采用 ∲.
2.5 两种曲线积分的关系
对于 同理.
2.6 矢量场的环流量, 矢量的曲线积分
设空间有一 (有限长的) 有向曲线 , 矢量 在 上有意义, 定义矢量 沿曲线 的曲线积分为
前者称为矢量的曲线积分, 后者为矢量场的环流量.
3 曲面积分
3.1 关于面积元素的曲面积分
设在 中, 有一光滑的用参数表示的曲面 , 此处 是直角坐标 平面上的有界闭区域. 若函数 在 上连续, 则 在 上的第一种曲面积分存在. 面积元素 , 且
3.2 矢量场的通量, 关于面积元素投影的积分
设在空间区域 中有一张曲面 , 可以分成两面, 一面记为 , 另一面记为 . 在 的每一点 作出曲面的单位法矢量 , 一律指向 侧. 设 是 中一矢量场, 则矢量场 由曲面 的 侧到 侧的通量为
这样, 计算矢量场的通量就是要计算上式中间的三个第一种曲面积分, 但由于出现了方向余弦, 这就使得上式右端三个积分有了几何意义. 并且, 由此还可以建立新的曲面积分的概念——第二种曲面积分的概念.
3.3
设有光滑的参数曲面 . 矢量形式为: , 此处 是 平面上的有界闭区域. 若 在 上连续, 则 在 上的三个第二种曲面积分存在. 若 是 上的连续函数, 则有公式
右端取正号或负号视法矢量 是否指向 的 侧而定.
4 Stokes 公式
4.1 Green 公式
设 是 上封闭曲线 围成的闭区域, 且函数 和 在 上有一阶连续偏微商, 则
∳ 的面积为 ∳∳∳.
4.2 Gauss 公式
设 是空间封闭曲面 所围成的闭区域, 函数 在 上有一阶连续偏微商, 则
∯外 的体积为 ∯外∯外∯外∯外.
设有矢量场 , 是场中一点. 围绕 在场中作一封闭曲面 , 围成闭区域 , 体积也记作 , 是 的单位外法矢, 定义矢量场 在点 的散度为 ∯ . 散度也可用 Nabla 算子写成 . 此外容易验证:
定义 Laplace 算子 , 因此 .
4.3 Stokes 公式
设空间曲面 , 边界是封闭曲线 . 若函数 有一阶连续偏微商, 则
∳
矢量场 在一点 的旋度 () 是一个矢量, 它是这样定义的: 从点 作一单位矢量 , 过 点又作一平面与 垂直, 再在平面上画一封闭曲线 , 若内部面积记为 , 在 上各点作单位切矢量 , 使得 是在 左边, 定义 . 若 , 则 . 旋度也可以用 Nabla 算子写成 . 此外容易验证:
5 全微分与线积分
5.1 与途径无关的曲线积分
在单连通域 内取两点 . 假定 在 内连续, 且有连续偏微商, 则 与途径无关的充要条件为 . 这一条件被称为确切微分条件.
空间的曲线积分的确切微分条件与平面情形类似, 只是用 Stokes 公式代替 Green 公式证明就是了.
例题: 解微分方程 .
6 外微分形式
6.1 外乘积, 外微分形式
回忆面积元素 通过取绝对值来保持面积元素总是正的. 但是对于已经定向的面积元素, 则没有必要, 即此时 . 从这里可以得到:
(i) 如果取 , 则 .
(ii) 如果将 对换, 则 .
满足上述两条规则的微分乘积称为微分的外乘积.
由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式, 函数称为微分形式的系数. 有一些性质.
6.2 Poincaré 引理及其逆
若 为一外微分形式, 其微分形式的系数具有二阶连续偏微商, 则 .
若 是一个 次外微分式且 , 则存在一个 次外微分形式 , 使 .
6.3
Poincaré 引理 有其场论意义.
当 为零次外微分形式, 即 , 则 , 就是
.
当 为一次外微分形式, 即 , 那么 , 也就是
.
Poincaré 引理之逆 也有其场论意义.
为有势场的充要条件是 为无旋场, 即
.
即如果一次微分形式的外微分为零, 则此外微分形式一定是一个函数 (零次外微分形式) 的外微分.
为旋度场, 当且仅当 为无源场, 即
.
即如果二次外微分形式的外微分为零, 则此外微分形式一定是一个一次外微分形式的外微分.
6.4
这里 为外微分形式, 为 的封闭的积分区域, 表示 的边界, 表示区域有多少维数就是多少重数.
| 外微分形式的次数 | 空间 | 公式名 | 公式 |
|---|
| 0 | 直线段 | Newton - Leibniz 公式 | |
| 1 | 平面区域 | Green 公式 | |
| 1 | 空间曲面 | Stokes 公式 | |
| 2 | 空间中区域 | Gauss 公式 | ∯ |
最后还要强调的是: 这里所说的 Stokes 公式是微积分的顶峰. 从理论上讲, 这是微积分的终点, 也是微积分从古典走向现代的入口处. 在现代数学中, 微积分的各种定理中, 这条定理也许是用得最多的定理之一. 在数学上, 这是一条少有的简洁, 美丽而深刻的定理.
Part III
To Be Continued …
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