Part I

Chapter I 微积分的概念

1 函数与极限

1.1

无穷数列的极限, 记作 limnan=A1.

函数的极限, 记作 limxaf(x)=A2, 这里 a 可以是有限数, 也可以是无穷大.

1.2

一般来说, 函数 f(x)t=t0 点处连续, 是指 limtt0f(t)=f(t0) 成立, 否则称为间断.

2 定积分

2.1

使用将小区间 {Δxi} 分成等比数列的方法, 可以计算曲线 y=xm (m 为任意整数, 但 m1) 与 x 轴之间的面积. 从 x=ax=b 之间的面积是 bm+1am+1m+1.

2.3

1x1sds=lnx, 存在某个数 e 使得 lne=1.
可以证明 lnx1x2=lnx1+lnx23, 继续证明可以 (由前式很容易地) 得出 lnx 是一个以 e 为底的对数函数, 即 lnx=1x1sds=logex.

3 微商与微分

3.3

如果极限 limΔx0f(x0+Δx)f(x)Δx 存在, 我们就说 f(x)x0 处可微, 并称这极限为 f(x)x0 处的微商 (或导数), 记为 f(x0)dydx|x=x0.

如果函数 y=f(x)x=x0 处可微, 则一定在这一点连续4.

limn(1+1n)n=e5.

3.4

函数 y=f(x) 在点 x 的微分, 记作 dy=f(x)Δx.
可以用微分 dy 近似地代替差分 Δy6.

可以把 dy=f(x)Δx 改写成 dy=f(x)dx7,
这就是微商这个名称的由来.

3.5

Fermat 定理8
Rolle 定理9

微分中值定理
Lagrange 中值定理 (微分中值定理)
Cauchy 中值定理10

Chapter II 微积分的运算

1 微分法

1.1

y=f(u),u=φ(x), 则 dydx=f(u)φ(x)11.

x=g(y)y=f(x) 的反函数, 且 f(x)0, 则 g(y)=1f(x)12.

(tanx)=sec2x
(cotx)=csc2x
(secx)=secxtanx
(cscx)=cscxcotx
(arcsinx)=11x213
(arccosx)=11x2
(arctanx)=11+x2
(arccotx)=11+x2

…more14

一阶微分形式的不变性15

1.2

如果 f(n1)(x) 的微商存在, 就称它为 f(x)n 阶微商, 记为 f(n)(x)dnf(x)dxn16.

Leibnitz 公式17

由参数方程 {x=φ(t)y=ψ(t) 所确定的函数的微分法18

2 积分法

2.1

1x2a2dx=12aln|xax+a|
secxdx=ln|secx+tanx|
a2x2dx=a22arcsinxa+x2a2x2
x2+a2dx=x2x2+a2+a22ln(x+x2+a2)
dxx2±1=ln(x+1±x2)
arctanxdx=xarctanx12ln(x2+1)
eaxcosbxdx=bsinbx+acosbxa2+b2eax
eaxsinbxdx=asinbxbcosbxa2+b2eax
Jn=dx(x2+a2)n,J1=1aarctanxa,Jn+1=12na2x(x2+a2)n+2n12n1a2Jn
0π2sinmxdx=0π2cosmxdx={(m1)!!m!!π2(evenm)(m1)!!m!!(oddm)

有理分式的积分 mx+n(x2+px+q)kdx=mx+n((x+ξ)2+η)kdx=atdt(t2+η)k+bdt(t2+η)k, 查表易得.

2.2

Chapter III 微积分的一些应用

2 曲线的描绘

2.5

曲线 y=f(x) 的曲率 k=limΔs0ΔφΔs=|y|(1+y2)3/2;
参数方程 {x=φ(t)y=ψ(t) 的曲率 k=|ψφψφ|[φ2+ψ2]3/2.

3 Taylor 展开与极值问题

3.1

函数 f(x)x=x0 的泰勒展开式19

f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1,

其中 ξ=x0+θ(xx0),0<θ<1. (显然, Lagrange 中值定理只是它的一个最简单的特例)

ex=xnn!
sinxxx33!+x55!+(1)nx2n+1(2n+1)!

L Hospital 法则20

Chapter IV 常微分方程

1 一阶微分方程

1.1

关于 yn 阶线性微分方程的一般形式21

1.2

分离变量法22
形如 y=f(yx) 的方程经过变换可以变成可分离变量的23

1.3

一阶线性微分方程 dydx+P(x)y=Q(x) 的解24

eP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx

这里 P(x)dx 仅表示 P(x) 的一个原函数.

常数变易法25

2 二阶微分方程

2.1

可降价的方程 y=f(x,y)26y=f(y,y)27

2.2

二阶线性常微分方程的一般形状是

y+p(x)y+q(x)y=f(x)(2.2.1).

如果 f(x)0, 则方程称为齐次的, 此时方程的初值问题是指

{y+p(x)y+q(x)y=0(2.2.2)y(x0)=α,y(x0)=β,

它的解是存在且唯一的 (假定已证), 由此可以得到 (2.2.2) 的解的结构定理: 任意解可表成一对线性无关解的线性组合. 下面来证明这条结构定理:

如果函数 φ(x),ψ(x) 线性相关, 则它们的 Wronski 行列式28

W(φ,ψ)=|φ(x)ψ(x)φ(x)ψ(x)|0,

但必须指出, 由 W(φ,ψ)0 却未必能说这两个函数线性相关29; 如果 φ(x),ψ(x) 是齐次线性方程 (2.2.2) 的两个解, 则情况就不同, 即 存在某点 x0 使 W(φ(x0),ψ(x0))=0 φ(x)ψ(x) 线性相关30.

y1(x),y2(x) 都是 (2.2.2) 的解时, W(y1(x),y2(x))=W(x) 有一个很好的性质31, 即 Liouville 公式 W(x)=eP(x)dx. 从这里也可以看出, W(x) 在某点为零, 与处处为零是等价的.


已知 y1(x),y2(x) 是线性无关的解, 则存在 x0, 使得 W(x0)=|y1(x0)y2(x0)y1(x0)y2(x0)|0.

y(x) 是任意一个解, 由 W(x0)0, 一定存在

C1y1(x0)+C2y2(x0)=y(x0),C1y2(x0)+C2y2(x0)=y(x0).

由上式知, y(x)C1y1(x)+C2y2(x) 有相同的初始条件, 根据唯一性定理, 故 y(x)=C1y1(x)+C2y2(x) 成立. 这就证明了齐次二阶线性常微分方程的解的结构定理.

已知 (2.2.2) 的一个解 y1(x)(0),
则可借助 Liouville 公式得出另一个与之线性无关的解 y2=y11y12eP(x)dxdx32.

可以用常数变易法求出非齐次方程 (2.2.1) 的特解33

y(x)=y1y2fdxW(y1,y2)+y2y1fdxW(y1,y2),

与 (2.2.2) 的通解相加, 得出 (2.2.1) 的通解.

2.3

二阶常系数线性微分方程形如

y+ay+by=f(x),

求解它的问题归结于求解它相应的齐次方程. 这是容易做到的, 如下:

观察发现, y+ay+by=0 可能有 y=eλx 形式的解, 回代这个形式, 得出特征方程

λ2+aλ+b=0.
  1. 若特征方程有两个相异的实根 λ1,λ2, 易得 y=C1eλ1x+C2eλ2x.

  2. 若方程有重根 λ=a2, 于是 y1=ea2x,y2=xea2x34, y=ea2x(C1+C2x).

  3. 若方程有共轭复根 λ=α±iβ, 易得 y=eax(C1cosβx+C2sinβx)35.

Part II

Chapter VI 重积分与偏微商

1 重积分

1.1

当点 P(x,y) 在定义域内不论沿着哪一条途径趋向点 A(a,b) 时, f(x,y) 总是趋向于同一个数值 l, 则称 l 为函数 f(x,y)P(x,y) 趋于 A(a,b) 时的极限, 记作 limxaybf(x,y)=l, 或 limPAf(x,y)=l.
lim(x,y)(a,b)f(x,y)=f(a,b), 则称 f(x,y)(a,b) 处是连续的.

1.2

f(x,y) 是在 D 上的连续函数. 如果 φ(x,y)D 上可积, 且不变号, 则在 D 中有一点 (ξ,η), 使得 Df(x,y)φ(x,y)dA=f(ξ,η)Dφ(x,y)dA.

1.3

Df(x,y)dA=ab(φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy)dx=abdxφ1(x)φ2(x)f(x,y)dy=Df(x,y)dxdy.Vf(x,y,z)dV=Vf(x,y,z)dxdydz=Ddxdyz1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz=ghdzDzf(x,y,z)dxdy.

2 偏微商

2.1

定义 limΔx0f(x+Δx,y)f(x,y)Δx=fx=fx(x,y)f(x,y)x 的偏微商, fxdx 称为 f(x,y)x 的偏微分. f(x,y) 在点 (x,y) 的全微分 df=fxdx+fydy.

全微分除了有一些与单变量函数的微分法则在形式上一致的性质36, 还有了新的内容. 简单地说, 与 Jacobi 矩阵有关, 并由此可以推出微分的不变性37.

二阶偏微商 y(fx) 记作 2fyxfxy.
2fxy2fyx 在点 (x,y) 不但存在而且连续, 则 2fxy=2fyx, 即微商的次序可以交换38.

注意, 在 z=f(x,y),y=y(x) 中, zxfx 是不同的.

2.2

F(x,y,z)=0, 将 z 看作 x,y 的函数即 z=z(x,y), 则 z 关于 x 的偏微商 zx=Fx/Fz39.
由方程组 {F(x,y,,u,v)=0G(x,y,,u,v)=0 确定的以 u,v 为因变量的隐函数, ux=(F,G)(x,v)/(F,G)(u,v)40.

3 Jacobi 行列式, 面积元素与体积元素

3.1

两个二元函数 u=u(x,y),v=v(x,y) 的四个一阶偏微商组成的矩阵 [uxvxuyvy] 称为函数 uv 的 Jacobi 矩阵; 其行列式称为 Jacobi 行列式, 记作 (u,v)(x,y). 多余两个变量的函数也可类似地定义 Jacobi 矩阵.

在多元函数的情形, Jacobi 矩阵相当于单变量函数的微商. 下面列举的一些 Jacobi 行列式的性质可以进一步说明这个问题 (设 {u=u(x,y)v=v(x,y),{x=x(s,t)y=y(s,t)):

  1. 复合函数的微商法则 (u,v)(s,t)=(u,v)(x,y)(x,y)(s,t).

  2. (u,v)(x,y)(x,y)(u,v)=(u,v)(u,v)=|1001|=1, 这正好与 dydx=1dxdy 相当.

  3. (u,v)(x,y)=(v,u)(x,y).

  4. (u,u)(x,y)=0.

3.2

{x=x(u,v)y=y(u,v), 则曲线坐标 (u,v) 在平面坐标系 xOy 下的面积元素为 dA=|(x,y)(u,v)|dudv. 于是由二重积分的定义得到 Df(x,y)dA=Df(x(u,v),y(u,v))|(x,y)(u,v)|dudv.

空间曲面 r=r(u,v) 的面积元素 dS=EGF2dudv45;
显表示式 z=z(x,y) 的情形则更简单46.

Chapter VII 线, 面积分与外微分形式

1 数量场与矢量场

1.1

数量场 u=u(x,y,z),(x,y,z)V. 在 V 中取一点 M0, 且设 l 是始自 M0 的射线, 则 u=u(M)l 的方向导数定义为 (ul)M0=limMM0Mlu(M)u(M0)|MM0|. uM0 的梯度 (gradu)M0=(uxi+uyj+uzk)M047.

运算符号 Nabla 表示为 =ix+jy+kz. 以下用此符号描述一些梯度的性质:

  1. 方向导数与梯度的关系为: ul=ul0.

  2. 沿梯度方向, 数量场的变化最快, 等值面分布最 .

  3. 梯度运算法则:

    (i) Cu=Cu;
    (ii) (u+v)=u+v;
    (iii) uv=uv+vu;
    (iv) f(u)=f(u)u.

1.2

设矢量场 v=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k, 它的流线族由微分方程组解得48.

2 曲线积分

2.1 关于弧长的曲线积分

设曲线 L (弧长为 s) 的参数方程为 {x=x(t)y=y(t)z=z(t),αtβx˙,y˙,z˙ 连续, L 无重点. 若 f(M)=f(x,y,z)L 上连续, 则 f(M)L 上的第一种曲线积分存在, 且有

Lf(M)ds=αβf(x,y,z)x˙2+y˙2+z˙2dt.

2.3 关于弧长元素投影的积分

同第一种曲线积分的设定一样定义第二种曲线积分形如 LABf(M)dx 49. 以下罗列一些简单性质:

  1. LABf(M)dx=LBAf(M)dx

  2. LABfdx+LBCfdx=LACfdx

  3. LxOy 上平行于 Oy 的直线段, 则 Lfdx=0. 同样, 若 LOxyz 中在平行于 yOz 的平面上的曲线, 则 L 上关于 x 的第二种曲线积分为零.

2.4

设在 Oxyz 中曲线 L 的参数方程为 {x=x(t)y=y(t)z=z(t),αtβ, x˙,y˙,z˙ 连续, A,B 的坐标分别为 A(x(α),y(α),z(α)),B(x(β),y(β),z(β)). 若 f(M)=f(x,y,z)L 上定义的连续函数, 则 f(M)L 上的第二种曲线积分存在并且

LABf(M)dx=L+f(M)dx=αβf(x(t),y(t),z(t))x˙dx.

同样有关于 yz 的积分公式50.

平面封闭曲线的正向 (逆时针方向) 积分采用记号 , 与它反向的采用 .

2.5 两种曲线积分的关系

L+f(M)dx=0s0f(x(s),y(s),z(s))x(s)ds=L+f(M)cosαMds.

对于 y,z 同理51.

2.6 矢量场的环流量, 矢量的曲线积分

设空间有一 (有限长的) 有向曲线 L, 矢量 v(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)kL 上有意义, 定义矢量 v 沿曲线 L+ 的曲线积分为

L+vdr=L+(Pdx+Qdy+Rdz)=L+Pdx+Qdy+Rdz.

前者称为矢量的曲线积分, 后者为矢量场的环流量.

3 曲面积分

3.1 关于面积元素的曲面积分

设在 Oxyz 中, 有一光滑的用参数表示的曲面 Σ:{x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v),(u,v)Δ, 此处 Δ 是直角坐标 uv 平面上的有界闭区域. 若函数 f(M)=f(x,y,z)Σ 上连续, 则 f(M)Σ 上的第一种曲面积分存在. 面积元素 dS=EGF2dudv, 且

Σf(M)dS=Δf(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EGF2dudv.

3.2 矢量场的通量, 关于面积元素投影的积分

设在空间区域 V 中有一张曲面 Σ, 可以分成两面, 一面记为 A, 另一面记为 B. 在 Σ 的每一点 M 作出曲面的单位法矢量 n=nM, 一律指向 B 侧. 设 v=v(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)kV 中一矢量场, 则矢量场 v 由曲面 ΣA 侧到 B 侧的通量52

ΣvndS=Σ[P(M)cosαM+Q(M)cosβM+R(M)cosγM]dS=ΣBPdydz+Qdzdx+Rdxdy.

这样, 计算矢量场的通量就是要计算上式中间的三个第一种曲面积分, 但由于出现了方向余弦, 这就使得上式右端三个积分有了几何意义. 并且, 由此还可以建立新的曲面积分的概念——第二种曲面积分的概念.

3.3

设有光滑的参数曲面 Σ:{x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v),(u,v)Δ. 矢量形式为: r=r(u,v),(u,v)Δ, 此处 Δuv 平面上的有界闭区域. 若 f(M)=f(x,y,z)Σ 上连续, 则 f(M)Σ 上的三个第二种曲面积分存在. 若 P,Q,RΣ 上的连续函数, 则有53公式

ΣBPdydz+Qdzdx+Rdxdy=Δ±|PQRxuyuzuxvyvzv|dudv.

右端取正号或负号视法矢量 ru×rv 是否指向 ΣB 侧而定.

4 Stokes 公式

4.1 Green 公式

DxOy 上封闭曲线 L 围成的闭区域, 且函数 P(x,y)Q(x,y)D 上有一阶连续偏微商, 则54

LPdx+Qdy=D(QxPy)dxdy.

D 的面积为 Lxdy=Lydx=12Lxdyydx.

4.2 Gauss 公式

V 是空间封闭曲面 Σ 所围成的闭区域, 函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)V 上有一阶连续偏微商, 则55

ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=V(Px+Qy+Rz)dV.

V 的体积为 Σxdydz=Σydzdx=Σzdxdy=13Σxdydz+ydzdx+zdxdy.


设有矢量场 v, M 是场中一点. 围绕 M 在场中作一封闭曲面 Σ, 围成闭区域 V, 体积也记作 V, nΣ 的单位外法矢, 定义矢量场 v 在点 M 的散度为 (divv)M=limΣMΣvndSV=(Px+Qy+Rz)M 56. 散度也可用 Nabla 算子写成 divv=v=ivx+jvy+kvz. 此外容易验证:

φv=φv+vφ


定义 Laplace 算子 Δ=2x2+2y2+2z2=2=, 因此 divgradu=Δu.

4.3 Stokes 公式

设空间曲面 Σ, 边界是封闭曲线 L. 若函数 P,Q,R 有一阶连续偏微商, 则57

LPdx+Qdy+Rdz=Σ+|dydzdzdxdxdyxyzPQR|=Σ+|cosαcosβcosγxyzPQR|dS.

矢量场 v 在一点 M 的旋度 (rotv) 是一个矢量, 它是这样定义的: 从点 M 作一单位矢量 n, 过 M 点又作一平面与 n 垂直, 再在平面上画一封闭曲线 L, 若内部面积记为 A, 在 L 上各点作单位切矢量 t, 使得 n 是在 t 左边, 定义58 (rotv)Mn=limLMLvtdsA. 若 v=Pi+Qj+Rk, 则 rotv=|ijkxyzPQR| 59. 旋度也可以用 Nabla 算子写成 rotv=×v=i×vx+j×vy+k×vz. 此外容易验证:

  1. ×φv=φ×v+v×φ

  2. (u×v)=v×uu×v

  3. ×(u×v)=(v)u(u)v+uvvu

  4. ×(×v)=(v)Δv

  5. ×u0

5 全微分与线积分

5.1 与途径无关的曲线积分

在单连通域60 Σ 内取两点 A,B. 假定 P,QΣ 内连续, 且有连续偏微商, 则 (A)(B)P(x,y)dx+Q(x,y)dy 与途径无关的充要条件为 Py=Qx. 这一条件被称为确切微分条件61.
空间的曲线积分的确切微分条件与平面情形类似, 只是用 Stokes 公式代替 Green 公式证明就是了.

例题: 解微分方程 (x+y+1)dx+(xy2+3)dy=0 62.

6 外微分形式

6.1 外乘积, 外微分形式

回忆面积元素 dxdy=|(x,y)(u,v)|dudv 通过取绝对值来保持面积元素总是正的. 但是对于已经定向的面积元素, 则没有必要, 即此时 dxdy=(x,y)(u,v)dudv. 从这里可以得到:
(i) 如果取 y=x, 则 dxdx=0.
(ii) 如果将 x,y 对换, 则 dydx=dxdy.
满足上述两条规则的微分乘积称为微分的外乘积.
由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式, 函数称为微分形式的系数. 有一些性质63.

6.2 Poincaré 引理及其逆

6.3

外微分形式的次数对应的度64
065梯度66
167旋度68
269散度70

Poincaré 引理 ddω=0 有其场论意义.

ω 为零次外微分形式, 即 ω=f, 则 ddf=0, 就是
rotgradf=0.

ω 为一次外微分形式, 即 ω1=Pdx+Qdy+Rdz, 那么 ddω1=0, 也就是
divrot(P,Q,R)=0.


Poincaré 引理之逆 dω=0ω=dα 也有其场论意义.

v 为有势场的充要条件是 v 为无旋场, 即
rotv=0v=gradf.
即如果一次微分形式的外微分为零, 则此外微分形式一定是一个函数 (零次外微分形式) 的外微分.

v 为旋度场, 当且仅当 v 为无源场, 即
divv=0v=rotb.
即如果二次外微分形式的外微分为零, 则此外微分形式一定是一个一次外微分形式的外微分.

6.4

Σω=Σdω,

这里 ω 为外微分形式, Σdω 的封闭的积分区域, Σ 表示 Σ 的边界, 表示区域有多少维数就是多少重数.

外微分形式的次数空间公式名公式
0直线段Newton - Leibniz 公式ω0=dω0
1平面区域Green 公式ω1=dω1
1空间曲面Stokes 公式ω1=dω1
2空间中区域Gauss 公式ω2=dω2

最后还要强调的是: 这里所说的 Stokes 公式是微积分的顶峰. 从理论上讲, 这是微积分的终点, 也是微积分从古典走向现代的入口处. 在现代数学中, 微积分的各种定理中, 这条定理也许是用得最多的定理之一. 在数学上, 这是一条少有的简洁, 美丽而深刻的定理.

Part III

To Be Continued


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1 如果 limnbn=B, 那么
limn(an±bn)=A±B,
limn(anbn)=AB,
limnanbn=AB (B0).
如果 k 为常数, 那么
limnkan=kA.
再如果有 limncn=C, 且 anbncn, 则
ABC.
2 如果 limxag(x) 也存在且有限, 则有
limxa(f(x)±g(x))=limxaf(x)±limxag(x),
limxa(f(x)g(x))=limxaf(x)limxag(x),
limxaf(x)g(x)=limxaf(x)/limxag(x) (limxag(x)0).
此外, 如在点 a 的附近成立不等式 f(x)g(x)h(x)limxaf(x)=limxah(x)=A, 则
limxag(x)=A.
3 lnx1+lnx2=1x11sds+1x21sds=1x11sds+x1x1x21sx1dsx1=1x11sds+x1x1x21sds=1x1x21sds=lnx1x2
4 f(x+Δx)f(x)=f(x+Δx)f(x)ΔxΔx,
Δx0, 两边取极限, 由于 limΔx0f(x0+Δx)f(x)Δx 存在, 所有等式的右边显然趋于零, 故limΔx0[f(x+Δx)f(x)]=0,
f(x)x0 处连续.
5 由微商的定义, 1x=dlnxdx=dlogexdx=limΔx0loge(x0+Δx)logexΔx=limΔx0loge(1+Δxx)1Δx,
特别取 x=1,Δx=1n, 因此, limnloge(1+1n)n=1, 易得
6 一般来说, 当 y=f(x) 比较复杂时, Δy 不易计算,
然而由微商的定义知道 limΔx0ΔyΔx=limΔx0f(x0+Δx)f(x)Δx=f(x0).
若令 ΔyΔxf(x)=α, 则显然有 limΔx0α=0,
也就是说 Δy=f(x)Δx+αΔx=dy+αΔx 中的 αΔx 可以忽略不计.
7 特别取函数 y=x, 则 f(x)=x=1.
因此, 函数 y=x 的微分 dx=1Δx=Δx. 易得
8 如果 f(x)x0 点可微, 且在该点取到极值, 那么必有 f(x0)=0.
9 f(x)[a,b] 上连续, 在 (a,b) 上可微, 且 f(a)=f(b), 则至少存在一点 ξ(a,b), 使得 f(ξ)=0.
10 设函数 f(x)g(x) 都是 [a,b] 上的连续函数, 且在 (a,b) 上可微, 且 x(a,b),g(x)0, 则必有 ξ(a,b), 使得 f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ).
11 由于 ΔyΔx=ΔyΔuΔuΔx,
Δx0, 注意这时也有 Δu0, 于是得
y=limΔx0ΔyΔx=limΔx0(ΔyΔuΔuΔx)=limΔx0ΔyΔulimΔx0ΔuΔx=limΔu0ΔyΔulimΔx0ΔuΔx=dydududx.
12 由于 y=f(g(y)), 立刻有 1=f(x)g(y).
13 (arcsinx)=1(siny)=1cosy=11sin2y=11x2.
14 (uv)=uv[vlnu+vuu]
(ln(1+x))(n)=(1)n1(n1)!(1+x)n
(sinx)(n)=sin(x+nπ2)
(cosx)(n)=cos(x+nπ2)
15 y=f(x),x=φ(t) 都是可微函数,
而已知复合函数 y=f[φ(t)] 的微商为 y=f(x)φ(t),
因此 dy=f(x)φ(t)dt,
dx=φ(t)dt,
故得 dy=f(x)dx.
这就是说, 不论 x 是自变量或中间变量, f(x) 的微分形式 dy=f(x)dx 总是不变的.
16 以二阶微分为例, 命 y=f(x), 则 dy=f(x)dx,
则有 d2y=d(dy)=d[f(x)dx]=f(x)dx2.
17 (uv)(n)=r=0nCnru(nr)v(r)
18 dydx=dydtdtdx=ψ(t)1φ(t)=ψ(t)φ(t),
d2ydx2=ddx(ψ(t)φ(t))=ddt(ψ(t)φ(t))dtdx=ψ(t)φ(t)ψ(t)φ(t)[φ(t)]21φ(t)=ψφψφφ3.
19 Pn(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2++f(n)(0)n!xn,
f(x)Pn(x)=xn+1(n+1)!Qn,
z 的函数 ϕ(z)=f(x)[f(z)+(xz)f(z)+(xz)22!f(z)++(xz)nn!f(n)(z)+(xz)n+1(n+1)!Qn],
则显然有 ϕ(0)=ϕ(x)=0. 由微分中值定理, 一定有点 ξ=θx,0<θ<1, 使 ϕ(ξ)=0,
ϕ(z)=(xz)nn![Qnf(n+1)(z)], 故 Qn=f(n+1)(ξ).
Qn 称为泰勒展开式的余项, 所以 f(x)Pn=O(xn+1).
20 f(x),g(x)x=x0 处有二阶微商, g(x0)0, 且 limxx0f(x)=0,limxx0g(x)=0,
limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x0)(xx0)+O[(xx0)2]g(x0)(xx0)+O[(xx0)2]=limxx0f(x0)+O(xx0)g(x0)+O(xx0)=limxx0f(x0)g(x0).
当然还可以有: 若 f(x),g(x)x=x0 处有 n 阶微商, 且
limxx0f(x)=limxx0f(x)==limxx0f(n1)(x)=0,
limxx0g(x)=limxx0g(x)==limxx0g(n1)(x)=0,
limxx0f(x)g(x)=f(n)(x0)g(n)(x0).
21 a0(x)dnydxn+a1(x)dn1ydxn1++an(x)y=f(x)
22 g(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dx
23 y=xu 引入新变量,
代回 y=f(yx) 得到 u+xu=f(u),
用分离变量的方法解得 x=eduf(u)u.
24 考虑方程 (1) d(ψ(x)y)=f(x)dx,
将上式两边积分, 得 ψ(x)y=f(x)dxy=1ψ(x)f(x)dx,
原方程 (1) 就是 ψ(x)dydx+ψ(x)y=f(x),
方程 (1) 还可以写成 dydx+P(x)y=Q(x) 的形式, 此处 P(x)=ψ(x)ψ(x),Q(x)=f(x)ψ(x).
显然 ψ(x) 可以轻松解出, 进而算出 f(x), 代入方程 (1) 的解即可.
25 dydx+P(x)y=0y=CeP(x)dx, 这里 P(x)dx 仅表示 P(x) 的一个原函数.
将常数 C 变易为 x 的函数 C(x), 然后将 C(x)eP(x)dx 代入 dydx+P(x)y=Q(x),
就得到一个 C(x) 的微分方程 C(x)=Q(x)eP(x)dx, C(x)=Q(x)eP(x)dxdx 就是它的解.
回代即可.
26 p=y 即可
27 p=yd2ydx2=dpdx=dpdydydx=pdpdy 可将方程化为 dpdy=φ(y,p) 的形式
28 线性相关意即, 要存在两个不同时为零的常数 C1,C2,
使得 C1φ(x)+C2ψ(x)0,
顺便有 C1φ(x)+C2ψ(x)0,
当且仅当 |φ(x)ψ(x)φ(x)ψ(x)|=0.
29 例如
φ(x)={xx00x0,
ψ(x)={0x0xx0.
30 W(φ(x0),ψ(x0))=0{C1φ(x0)+C2ψ(x0)=0C1φ(x0)+C2ψ(x0)=0.
考虑函数 y(x)=C1φ(x)+C2ψ(x), 它也是齐次方程的解, 且符合初始条件 y(x0)=0,y(x0)=0;
另一方面, y~(x)0 当然是齐次方程的解, 和 y(x) 满足同样的初始条件.
由解的存在唯一性定理推知 y(x)y~(x)0, 这就证明了 φ(x),ψ(x) 线性相关.
31 dWdx=ddx(y1y2y1y2)=y1y2y1y2,
y1=p(x)y1q(x)y1,y2=p(x)y2q(x)y2,
所以 dWdx=y1(py2qy2)y2(py1qy1)=pW.
32 W(y1,y2)=ePdx 的两边同除以 y12,
y1y2y1y2y12=1y12ePdx=ddx(y2y1),
积分之, 得 y2y1=1y12ePdxdx
33 假设有形如 y=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x) 的特解.
于是 dydx=C1y1+C2y2+[C1y1+C2y2], 不妨命 C1y1+C2y2=0.
于是 d2ydx2=C1y1+C2y2+[C1y1+C2y2], 代入 y+py+qy=f,
得到 C1[y1+py1+qy1]+C2[y2+py2+qy2]+[C1y1+C2y2]=f.
由于 y1,y2 是齐次方程的解, 所以 C1y1+C2y2=f.
将前式与 C1y1+C2y2=0 联立, 由 W(y1,y2)0 可知有解,
解方程得 {C1(x)=y2(x)f(x)y1(x)y2(x)y1(x)y2(x)C2(x)=y1(x)f(x)y1(x)y2(x)y1(x)y2(x). 积分之即可.
34 前面说过, 已知齐次二阶线性常微分方程的一个非平凡解时, 可以算出另一个线性无关的解.
y2(x)=ea2xeaxeadxdx.
35 λ 得出复值解 y~(x)=e(α±iβ)x, 则应用 Euler 公式即可.
y1=12(e(α+iβ)x+e(αiβ)x)=eaxcosβx,
y2=12i(e(α+iβ)xe(αiβ)x)=eaxsinβx.
36 d(u±v)=du±dv,
d(uv)=udv+vdu,
d(uv)=vduudvv2.
37 如果 x,yu,v 的函数, 则
fu=fxxu+fyyu,
fv=fxxv+fyyv.
计算出对 u,v 的全微分 dxdy,
立刻推出 df=fudu+fvdv=fxdx+fydy.
38 主要是因为 ΔxΔyf=ΔyΔxf.
39 F(x,y,z(x,y))0Fx+Fzzx0
40 {F(x,y,,u(x,y,),v(x,y,))=0G(x,y,,u(x,y,),v(x,y,))=0{Fx+Fuux+Fvvx=0Gx+Guux+Gvvx=0
41 ρdρdθ
42 {x=ρsinθcosφy=ρsinθsinφz=ρcosθ, φρxOy 上的投影与 Ox 的夹角, θρOz 的夹角.
体素由 (x,y,z)(ρ,θ,φ)=ρ2sinθ 求得.
43 {x=rcosθy=rsinθz=z 的体素为 rdrdθdz
44 {x,y,z>0x+y+z<a 确定了坐标面与 x+y+z=a 之间的四面体,
引入使得 {x+y+z=q1a(y+z)=q1q2a2z=q1q2q3 成立的新变量 {q1=x+y+zq2=a(y+z)x+y+zq3=azy+z,
容易算出 {x=q1(aq2)ay=q1q2(aq3)a2z=q1q2q3a20<q1,q2,q3<a 以及 (x,y,z)(q1,q2,q3)=1a3q12q2.
0adx0axdy0axyf(x,y,z)dz=1a30aq12dq10aq2dq20af(x(q1,q2,q3),y(q1,q2,q3),z(q1,q2,q3))dq3.
45 易知 dS=|ru×rv|dudv,
|ru×rv|2=ru2rv2(rurv)2,
故令 {E=ru2=xu2+yu2+zu2G=rv2=xv2+yv2+zv2F=rurv=xuxv+yuyv+zuzv.
46 dS=1+zx2+zy2dxdy
47 l 的方向余弦为 (cosα,cosβ,cosγ), 则 l 上的 M 可表示为(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ).
于是 (ul)M0=limt0u(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)u(x0,y0,z0)t=uxcosα+uycosβ+uzcosγ,
(ul)M0=(uxi+uyj+uzk)M0(cosα,cosβ,cosγ).
48 设流线 r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,
drdt//vdxP=dyQ=dzR.
这个微分方程组的存在性与唯一性的证明略.
49 xOy 中形如 LABf(M)dy=LABf(x,y)dy;
Oxyz 中形如 LABf(M)dz=LABf(x,y,z)dz.
50 习惯上把参数增加时曲线运行的方向叫做参数曲线的正向.
51 L+f(M)dy=0s0f(x(s),y(s),z(s))y(s)ds=L+f(M)cosβMds,
L+f(M)dz=0s0f(x(s),y(s),z(s))z(s)ds=L+f(M)cosγMds.
52 或简单叫做在 ΣB 侧的通量
53 ru×rv 是曲面 Σ 的法矢量, 且 n=±ru×rv|ru×rv|=±1|ru×rv||ijkxuyuzuxvyvzv|, 易知方向余弦 cosγ=±(x,y)(u,v)|ru×rv|.
另一方面, dS=|ru×rv|dudvPdxdy=PcosγdS=P[±(x,y)(u,v)|ru×rv|]|ru×rv|dudv=P(±(x,y)(u,v))dudv.
同样可证明其余两式.
54 先假定 L 的形状满足这样的要求: 平行于 Oy 的直线至多与 L 交于两点. 设下面曲线的方程为 y=y1(x),axb, 上面曲线的方程为 y=y2(x),axb.
于是 DPydxdy=abdxy1(x)y2(x)Pydy=ab[P(x,y2(x))P(x,y1(x))]dx=LPdx.
同样可以证明 DQxdxdy=LQdy.
55 先假定 V 是由上下两个显表示的曲面, 和周围是其母线平行于 Oz 的柱面所围成的. VxOy 上的投影为 D. 设下面的曲面为 Σ1:z=z1(x,y),(x,y)D, 上面的曲面为 Σ2:z=z2(x,y),(x,y)D, 周围的柱面为 Σ3.
于是 VRzdxdydz=Ddxdyz1(x,y)z2(x,y)Rzdz=D[R(x,y,z2(x,y))R(x,y,z1(x,y))]dxdy=Σ2Rdxdy+Σ2Rdxdy,
Σ3Rdxdy=0, 所以 VRzdxdydz=Σ2Rdxdy+Σ2Rdxdy+Σ3Rdxdy=ΣRdxdy.
同样对于 VPxdxdydzVQydxdydz 可得类似结果.
56 由 Gauss 公式 ΣvndS=ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Px+Qy+Rz)dV,
易得.
57 即要证 LPdx+Qdy+Rdz=Σ+(RyQz)dydz+(PzRx)dzdx+(QxPy)dxdy.
Σ:z=z(x,y),(x,y)D, DxOy 上的闭区域, 边界为 L.
Σ 的边界 L 的参数方程为 {x=x(t)y=y(t)z=z(x(t),y(t)),αtβ, 故 L 的参数方程显然就是 {x=x(t)y=y(t),αtβ.
于是 LP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy=LP(x,y,z(x,y))dx+Q(x,y,z(x,y))dy,
LRdz=αβRz˙dt=αβR(zxx˙+zyy˙)dt=LRzxdx+Rzydy.
将以上两式相加, 应用 Green 公式, 得到 LPdx+Qdy+Rdz=L(P+Rzx)dx+(Q+Rzy)dy=D[x(Q+Rzy)y(P+Rzx)]dxdy,
LPdx+Qdy+Rdz=D[(QzRy)zx+(RxPz)zy+(QxPy)]dxdy.
另一方面, 将 Σ:z=z(x,y) 视为参数为 x,y 的参数方程, 应用参数曲面的第二种曲面积分的计算公式得到 Σ+(RyQz)dydz+(PzRx)dzdx+(QxPy)dxdy=D|RyQzPzRxQxPyxxyxzxxyyyzy|dxdy,
Σ+(RyQz)dydz+(PzRx)dzdx+(QxPy)dxdy=D[(QzRy)zx+(RxPz)zy+(QxPy)]dxdy.
得证.
58 旋度 rotv 有时也记成 curlv
59 若取 n=cosαi+cosβj+cosγk, L 的内部为平面区域, 记作 Σ,
(rotv)Mn=|ijkxyzPQR|Mn=|cosαcosβcosγxyzPQR|M, 右边明显是 Stokes 公式的形式, 易得.
60 单连通性是不可缺少的,
例如 Σ:x2+y2>0, 积分曲线为 x2+y2=1,
xdyydxx2+y2=02π(cos2t+sin2t)dt=2π0.
但是却有 xxx2+y2=yyx2+y2.
61 易知原环流量与途径无关的充要条件是在 Σ 内部作任一闭合曲线 l, 皆有 lPdx+Qdy.
由 Green 公式, 即证对任意域 DΣ 皆有 D(QxPy)dxdy=0.
用反证法, 若存在某点使得 QxPy>0, 则由 P,Q 偏微商的连续性, 存在包含该点的域 Σ0 使得 QxPy>0.
易得.
62 {P=x+y+1Q=xy2+3, 因为满足确切微分条件, 所以一定有 u
使得 du=(x+y+1)dx+(xy2+3)dy.
因此, 一方面 du=0u=C, 另一方面考虑选取途径为先 OxOy 走向的折线段,
u(x,y)=(0,0)(x,y)(x+y+1)dx+(xy2+3)dy=0x(x+1)dx+0y(xy2+3)dy=x22+x+xyy33+3y.
因此, 方程的解为 3x2+6x+6xy2y3+18y=C.
63 λ,μ,ν 为任意三个外微分形式 (但 λ,μ 分别为 p,q 次外微分形式), 则
dxdy=dydx
(λ+μ)ν=λν+μν
λ(μ+ν)=λμ+λν
λ(μν)=(λμ)ν
μλ=(1)pqλμ
64 此处仅讨论三维空间
65 ω=f
66 dω=df=fxdx+fydy+fzdzgradf=fxi+fyj+fzk
67 ω1=Pdx+Qdy+Rdz
68 dω1=dPdx+dQdy+dRdz=|dydzdzdxdxdyxyzPQR|rot(P,Q,R)=|ijkxyzPQR|
69 ω2=Adydz+Bdzdx+Cdxdy
70 dω2=dAdydz+dBdzdx+dCdxdy=(Ax+By+Cz)dxdydzdiv(A,B,C)=Ax+By+Cz